Но вся эта теория — теория математическая, а это значит, что, хотя она и может быть изложена обычным языком, ее доказательство должно быть мате­матическим. Она целиком опирается на теорию обмена, а теория обмена цели­ком выражается — при состоянии равновесия рынка — в двойном факте: во- первых, факте получения каждым участником обмена максимума полезности и, во-вторых, в факте равенства объемов спроса и предложения по каждому товару для всех участников. Только математика может дать нам условие мак­симума полезности. Она позволяет сделать это, приписывая каждому обмени­вающемуся лицу — по каждому предмету потребления или потребляемой услу­ге — уравнение или кривую, выражающую интенсивность последней удовлетво­ренной потребности, или редкость, как убывающую функцию от потребленно­го количества, и показывая нам, как обменивающееся лицо может получить максимально возможную сумму удовлетворения своих потребностей, если — при определенных объявляемых («выкрикиваемых») ценах — он будет предъяв­лять спрос и предлагать товары в таких количествах, чтобы редкости этих това­ров после обмена были пропорциональны их ценам. И только математика мо­жет позволить нам узнать, почему и как — в процессе не только обмена, но и производства, капитализации и обращения — мы приходим к равновесным текущим ценам, повышая цены услуг, продуктов и новых капиталов, спрос на которые превышает предложение, и понижая цены, если предложение превы­шает спрос. Мы делаем это с помощью математики, выводя сначала из функ­ций редкости функции, выражающие предложение услуг и спрос на услуги, продукты и новые капиталы с целью максимального удовлетворения потреб­ностей, и уравнения, выражающие равенство предложения и спроса на эти услуги, продукты и новые капиталы; затем объединяя эти уравнения с другими уравнениями, выражающими равенство продажной цены и себестоимости про­дуктов и новых капиталов и равенство нормы дохода для всех новых капита­лов; и, наконец, показывая: 1) что таким образом поставленные задачи обме­на, производства, капитализации и обращения являются задачами, имеющими решение, т.е. содержащими уравнения, число которых в точности равно числу неизвестных; 2) что механизм повышения и понижения цен на рынке в соче­тании с фактом оттока предпринимателей из убыточных предприятий в при­быльные является не чем иным, как способом решения уравнений, содержа­щихся в этих задачах, путем нащупывания.