Нам известна природа прямого и непосредственного отношения,

связывающего действительный спрос на товар с его ценой в другом то­варе, и мы можем дать математическое выражение этого отношения.

Так, для товара (А) это отношение будет выражаться геометрически кривой A_dA_p или алгебраически уравнением данной кривой

Для товара (В) оно будет выражаться геометрически кривой B_dB_p или алгебраически уравнением данной кривой

Более того, нам известна также природа косвенного и опосредован­ного отношения, существующего между действительным предложени­ем одного товара в обмен на другой и ценой последнего товара в пер­вом, и мы можем также представить математическое выражение данно­го отношения.

Для товара (А) отношение, о котором идет речь, будет выражаться геометрически рядом прямоугольников, вписанных в кривую B_dB_p, или алгебраически уравнением

Для товара (В) оно будет выражаться геометрически рядом прямо­угольников, вписанных в кривую A_dA_p, или алгебраически уравнением

Впрочем, нет ничего проще из последних выражений вывести те, ко­торые относятся к отношению, связывающему действительное предло­жение каждого товара с его собственной ценой в другом товаре. Доста­точно всего лишь заменить в первых двух уравнениях цену p_b на 1/p_a и цену p_a на 1/p_b в силу соотношения pp_b = 1.

Тогда мы получим

Имея все эти элементы, мы в состоянии математически решить об­щую задачу обмена двух товаров друг на друга, состоящую в следую­щем: необходимо определить соответствующие равновесные цены, если даны два товара (А) и (В) и кривые спроса на эти два товара, один в обмен на другой, или уравнения данных кривых.

Геометрически задача состоит в том, чтобы вписать в обе кривые A_dA_p, B_dB_p два прямоугольника OD_aAp_a, OD_bBp_b с взаимно обратными ос­нованиями так, чтобы высота одного OD_a была равна площади другого Od_b X Op_b и чтобы, наоборот, высота второго OD_b была равна площади первого OD_a X Op_a. Основания этих двух прямоугольников — Op_a, Op_b — будут представлять равновесные цены, так как при данных соответству­ющих ценах спрос на (А), представленный высотой OD_a, будет равен предложению (А), представленному площадью OD_b X Op_b, а спрос на (В), представленный высотой OD_b, будет равен предложению (В), пред­ставленному площадью OD_a X Op_a (§ 47).

Выражение «высоты, равные площадям», которое я использовал, не однородно. Но в данном случае эта однородность не является необхо­димой в силу того, что условие обратной зависимости оснований пред­полагает определение общей единицы OI, использованной для постро­ения обеих кривых. Однако если есть желание выявить ее, то можно было бы сказать, что высота каждого прямоугольника должна содержать еди­ницу длины столько раз, сколько единиц площади содержит площадь другого; или, говоря иначе, что площадь каждого прямоугольника дол­жна быть равна площади такого прямоугольника, который построен по высоте другого на основании, равном единице. Впрочем, в данных за­дачи само собой разумеется, что основания обоих прямоугольников рав­ны обратным отношениям высот и прямым отношениям соответствую­щих площадей.